The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

from(X) → cons(X, n__from(s(X)))
length(n__nil) → 0
length(n__cons(X, Y)) → s(length1(activate(Y)))
length1(X) → length(activate(X))
from(X) → n__from(X)
nil → n__nil
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
activate(n__from(X)) → from(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(X) → X

Rewrite Strategy: FULL

(1) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(2) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

from(X) → cons(X, n__from(s(X)))
length(n__nil) → 0'
length(n__cons(X, Y)) → s(length1(activate(Y)))
length1(X) → length(activate(X))
from(X) → n__from(X)
nil → n__nil
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
activate(n__from(X)) → from(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(X) → X

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(3) SlicingProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Sliced the following arguments:
from/0
cons/0
n__from/0
n__cons/0

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

from → cons(n__from)
length(n__nil) → 0'
length(n__cons(Y)) → s(length1(activate(Y)))
length1(X) → length(activate(X))
from → n__from
nil → n__nil
cons(X2) → n__cons(X2)
activate(n__from) → from
activate(n__nil) → nil
activate(n__cons(X2)) → cons(X2)
activate(X) → X

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
from → cons(n__from)
length(n__nil) → 0'
length(n__cons(Y)) → s(length1(activate(Y)))
length1(X) → length(activate(X))
from → n__from
nil → n__nil
cons(X2) → n__cons(X2)
activate(n__from) → from
activate(n__nil) → nil
activate(n__cons(X2)) → cons(X2)
activate(X) → X

Types:
from :: n__from:n__nil:n__cons
cons :: n__from:n__nil:n__cons → n__from:n__nil:n__cons
n__from :: n__from:n__nil:n__cons
length :: n__from:n__nil:n__cons → 0':s
n__nil :: n__from:n__nil:n__cons
0' :: 0':s
n__cons :: n__from:n__nil:n__cons → n__from:n__nil:n__cons
s :: 0':s → 0':s
length1 :: n__from:n__nil:n__cons → 0':s
activate :: n__from:n__nil:n__cons → n__from:n__nil:n__cons
nil :: n__from:n__nil:n__cons
hole_n__from:n__nil:n__cons1_0 :: n__from:n__nil:n__cons
hole_0':s2_0 :: 0':s
gen_n__from:n__nil:n__cons3_0 :: Nat → n__from:n__nil:n__cons
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
length, length1

They will be analysed ascendingly in the following order:
length = length1

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
from → cons(n__from)
length(n__nil) → 0'
length(n__cons(Y)) → s(length1(activate(Y)))
length1(X) → length(activate(X))
from → n__from
nil → n__nil
cons(X2) → n__cons(X2)
activate(n__from) → from
activate(n__nil) → nil
activate(n__cons(X2)) → cons(X2)
activate(X) → X

Types:
from :: n__from:n__nil:n__cons
cons :: n__from:n__nil:n__cons → n__from:n__nil:n__cons
n__from :: n__from:n__nil:n__cons
length :: n__from:n__nil:n__cons → 0':s
n__nil :: n__from:n__nil:n__cons
0' :: 0':s
n__cons :: n__from:n__nil:n__cons → n__from:n__nil:n__cons
s :: 0':s → 0':s
length1 :: n__from:n__nil:n__cons → 0':s
activate :: n__from:n__nil:n__cons → n__from:n__nil:n__cons
nil :: n__from:n__nil:n__cons
hole_n__from:n__nil:n__cons1_0 :: n__from:n__nil:n__cons
hole_0':s2_0 :: 0':s
gen_n__from:n__nil:n__cons3_0 :: Nat → n__from:n__nil:n__cons
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s

Generator Equations:
gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(0) ⇔ n__from
gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(x, 1)) ⇔ n__cons(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(x))
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
length1, length

They will be analysed ascendingly in the following order:
length = length1

(9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
length1(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, n6_0))) → *5_0, rt ∈ Ω(n6₀)

Induction Base:
length1(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, 0)))

Induction Step:
length1(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, +(n6_0, 1)))) →_R^Ω(1)
length(activate(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, +(n6_0, 1))))) →_R^Ω(1)
length(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(2, n6_0))) →_R^Ω(1)
s(length1(activate(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, n6_0))))) →_R^Ω(1)
s(length1(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, n6_0)))) →_IH
s(*5_0)

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(10) Complex Obligation (BEST)

(11) Obligation:

TRS:
Rules:
from → cons(n__from)
length(n__nil) → 0'
length(n__cons(Y)) → s(length1(activate(Y)))
length1(X) → length(activate(X))
from → n__from
nil → n__nil
cons(X2) → n__cons(X2)
activate(n__from) → from
activate(n__nil) → nil
activate(n__cons(X2)) → cons(X2)
activate(X) → X

Types:
from :: n__from:n__nil:n__cons
cons :: n__from:n__nil:n__cons → n__from:n__nil:n__cons
n__from :: n__from:n__nil:n__cons
length :: n__from:n__nil:n__cons → 0':s
n__nil :: n__from:n__nil:n__cons
0' :: 0':s
n__cons :: n__from:n__nil:n__cons → n__from:n__nil:n__cons
s :: 0':s → 0':s
length1 :: n__from:n__nil:n__cons → 0':s
activate :: n__from:n__nil:n__cons → n__from:n__nil:n__cons
nil :: n__from:n__nil:n__cons
hole_n__from:n__nil:n__cons1_0 :: n__from:n__nil:n__cons
hole_0':s2_0 :: 0':s
gen_n__from:n__nil:n__cons3_0 :: Nat → n__from:n__nil:n__cons
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s

Lemmas:
length1(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, n6_0))) → *5_0, rt ∈ Ω(n6₀)

Generator Equations:
gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(0) ⇔ n__from
gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(x, 1)) ⇔ n__cons(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(x))
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
length

They will be analysed ascendingly in the following order:
length = length1

(12) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
length(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, n2063_0))) → *5_0, rt ∈ Ω(n2063₀)

Induction Base:
length(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, 0)))

Induction Step:
length(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, +(n2063_0, 1)))) →_R^Ω(1)
s(length1(activate(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, n2063_0))))) →_R^Ω(1)
s(length1(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, n2063_0)))) →_R^Ω(1)
s(length(activate(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, n2063_0))))) →_R^Ω(1)
s(length(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, n2063_0)))) →_IH
s(*5_0)

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(13) Complex Obligation (BEST)

(14) Obligation:

TRS:
Rules:
from → cons(n__from)
length(n__nil) → 0'
length(n__cons(Y)) → s(length1(activate(Y)))
length1(X) → length(activate(X))
from → n__from
nil → n__nil
cons(X2) → n__cons(X2)
activate(n__from) → from
activate(n__nil) → nil
activate(n__cons(X2)) → cons(X2)
activate(X) → X

Types:
from :: n__from:n__nil:n__cons
cons :: n__from:n__nil:n__cons → n__from:n__nil:n__cons
n__from :: n__from:n__nil:n__cons
length :: n__from:n__nil:n__cons → 0':s
n__nil :: n__from:n__nil:n__cons
0' :: 0':s
n__cons :: n__from:n__nil:n__cons → n__from:n__nil:n__cons
s :: 0':s → 0':s
length1 :: n__from:n__nil:n__cons → 0':s
activate :: n__from:n__nil:n__cons → n__from:n__nil:n__cons
nil :: n__from:n__nil:n__cons
hole_n__from:n__nil:n__cons1_0 :: n__from:n__nil:n__cons
hole_0':s2_0 :: 0':s
gen_n__from:n__nil:n__cons3_0 :: Nat → n__from:n__nil:n__cons
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s

Lemmas:
length1(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, n6_0))) → *5_0, rt ∈ Ω(n6₀)
length(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, n2063_0))) → *5_0, rt ∈ Ω(n2063₀)

Generator Equations:
gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(0) ⇔ n__from
gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(x, 1)) ⇔ n__cons(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(x))
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
length1

They will be analysed ascendingly in the following order:
length = length1

(15) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
length1(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, n4016_0))) → *5_0, rt ∈ Ω(n4016₀)

Induction Base:
length1(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, 0)))

Induction Step:
length1(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, +(n4016_0, 1)))) →_R^Ω(1)
length(activate(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, +(n4016_0, 1))))) →_R^Ω(1)
length(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(2, n4016_0))) →_R^Ω(1)
s(length1(activate(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, n4016_0))))) →_R^Ω(1)
s(length1(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, n4016_0)))) →_IH
s(*5_0)

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(16) Complex Obligation (BEST)

(17) Obligation:

TRS:
Rules:
from → cons(n__from)
length(n__nil) → 0'
length(n__cons(Y)) → s(length1(activate(Y)))
length1(X) → length(activate(X))
from → n__from
nil → n__nil
cons(X2) → n__cons(X2)
activate(n__from) → from
activate(n__nil) → nil
activate(n__cons(X2)) → cons(X2)
activate(X) → X

Types:
from :: n__from:n__nil:n__cons
cons :: n__from:n__nil:n__cons → n__from:n__nil:n__cons
n__from :: n__from:n__nil:n__cons
length :: n__from:n__nil:n__cons → 0':s
n__nil :: n__from:n__nil:n__cons
0' :: 0':s
n__cons :: n__from:n__nil:n__cons → n__from:n__nil:n__cons
s :: 0':s → 0':s
length1 :: n__from:n__nil:n__cons → 0':s
activate :: n__from:n__nil:n__cons → n__from:n__nil:n__cons
nil :: n__from:n__nil:n__cons
hole_n__from:n__nil:n__cons1_0 :: n__from:n__nil:n__cons
hole_0':s2_0 :: 0':s
gen_n__from:n__nil:n__cons3_0 :: Nat → n__from:n__nil:n__cons
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s

Lemmas:
length1(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, n4016_0))) → *5_0, rt ∈ Ω(n4016₀)
length(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, n2063_0))) → *5_0, rt ∈ Ω(n2063₀)

Generator Equations:
gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(0) ⇔ n__from
gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(x, 1)) ⇔ n__cons(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(x))
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(18) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
length1(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, n4016_0))) → *5_0, rt ∈ Ω(n4016₀)

(19) BOUNDS(n^1, INF)

(20) Obligation:

TRS:
Rules:
from → cons(n__from)
length(n__nil) → 0'
length(n__cons(Y)) → s(length1(activate(Y)))
length1(X) → length(activate(X))
from → n__from
nil → n__nil
cons(X2) → n__cons(X2)
activate(n__from) → from
activate(n__nil) → nil
activate(n__cons(X2)) → cons(X2)
activate(X) → X

Types:
from :: n__from:n__nil:n__cons
cons :: n__from:n__nil:n__cons → n__from:n__nil:n__cons
n__from :: n__from:n__nil:n__cons
length :: n__from:n__nil:n__cons → 0':s
n__nil :: n__from:n__nil:n__cons
0' :: 0':s
n__cons :: n__from:n__nil:n__cons → n__from:n__nil:n__cons
s :: 0':s → 0':s
length1 :: n__from:n__nil:n__cons → 0':s
activate :: n__from:n__nil:n__cons → n__from:n__nil:n__cons
nil :: n__from:n__nil:n__cons
hole_n__from:n__nil:n__cons1_0 :: n__from:n__nil:n__cons
hole_0':s2_0 :: 0':s
gen_n__from:n__nil:n__cons3_0 :: Nat → n__from:n__nil:n__cons
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s

Lemmas:
length1(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, n4016_0))) → *5_0, rt ∈ Ω(n4016₀)
length(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, n2063_0))) → *5_0, rt ∈ Ω(n2063₀)

Generator Equations:
gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(0) ⇔ n__from
gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(x, 1)) ⇔ n__cons(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(x))
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(21) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
length1(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, n4016_0))) → *5_0, rt ∈ Ω(n4016₀)

(22) BOUNDS(n^1, INF)

(23) Obligation:

TRS:
Rules:
from → cons(n__from)
length(n__nil) → 0'
length(n__cons(Y)) → s(length1(activate(Y)))
length1(X) → length(activate(X))
from → n__from
nil → n__nil
cons(X2) → n__cons(X2)
activate(n__from) → from
activate(n__nil) → nil
activate(n__cons(X2)) → cons(X2)
activate(X) → X

Types:
from :: n__from:n__nil:n__cons
cons :: n__from:n__nil:n__cons → n__from:n__nil:n__cons
n__from :: n__from:n__nil:n__cons
length :: n__from:n__nil:n__cons → 0':s
n__nil :: n__from:n__nil:n__cons
0' :: 0':s
n__cons :: n__from:n__nil:n__cons → n__from:n__nil:n__cons
s :: 0':s → 0':s
length1 :: n__from:n__nil:n__cons → 0':s
activate :: n__from:n__nil:n__cons → n__from:n__nil:n__cons
nil :: n__from:n__nil:n__cons
hole_n__from:n__nil:n__cons1_0 :: n__from:n__nil:n__cons
hole_0':s2_0 :: 0':s
gen_n__from:n__nil:n__cons3_0 :: Nat → n__from:n__nil:n__cons
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s

Lemmas:
length1(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, n6_0))) → *5_0, rt ∈ Ω(n6₀)
length(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, n2063_0))) → *5_0, rt ∈ Ω(n2063₀)

Generator Equations:
gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(0) ⇔ n__from
gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(x, 1)) ⇔ n__cons(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(x))
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(24) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
length1(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, n6_0))) → *5_0, rt ∈ Ω(n6₀)

(25) BOUNDS(n^1, INF)

(26) Obligation:

TRS:
Rules:
from → cons(n__from)
length(n__nil) → 0'
length(n__cons(Y)) → s(length1(activate(Y)))
length1(X) → length(activate(X))
from → n__from
nil → n__nil
cons(X2) → n__cons(X2)
activate(n__from) → from
activate(n__nil) → nil
activate(n__cons(X2)) → cons(X2)
activate(X) → X

Types:
from :: n__from:n__nil:n__cons
cons :: n__from:n__nil:n__cons → n__from:n__nil:n__cons
n__from :: n__from:n__nil:n__cons
length :: n__from:n__nil:n__cons → 0':s
n__nil :: n__from:n__nil:n__cons
0' :: 0':s
n__cons :: n__from:n__nil:n__cons → n__from:n__nil:n__cons
s :: 0':s → 0':s
length1 :: n__from:n__nil:n__cons → 0':s
activate :: n__from:n__nil:n__cons → n__from:n__nil:n__cons
nil :: n__from:n__nil:n__cons
hole_n__from:n__nil:n__cons1_0 :: n__from:n__nil:n__cons
hole_0':s2_0 :: 0':s
gen_n__from:n__nil:n__cons3_0 :: Nat → n__from:n__nil:n__cons
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s

Lemmas:
length1(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, n6_0))) → *5_0, rt ∈ Ω(n6₀)

Generator Equations:
gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(0) ⇔ n__from
gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(x, 1)) ⇔ n__cons(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(x))
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(27) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
length1(gen_n__from:n__nil:n__cons3_0(+(1, n6_0))) → *5_0, rt ∈ Ω(n6₀)

(28) BOUNDS(n^1, INF)